flower10142021-08-04 16:34:13函式的對稱性和週期性的定義
對稱性分為軸對稱和中心對稱兩種，
若函式 f（x） 關於直線 x=a 對稱，則 f（a+x）=f（a-x）或 f（x）=f（2a-x）；
若函式 f（x） 關於點（a，b）中心對稱，則 f（a+x）+f（a-x）=2b 或 f（x）+f（2a-x）=2b；
若函式 f（x） 具有周期T（T>0），則 f（x）=f（x+T）。
若函式 f（x）滿足f（a+x）=f（b+x），則 函式 f（x） 具有周期 T=|a-b|。
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週期性和對稱性的內在聯絡
對於常函式來數，它即是週期函式，也有無數個對稱中心和對稱軸。那麼很自然的我們會有下列問題：
問題1：如果一個函式f（x）既關於直線x=a對稱，又關於直線x=b對稱，函式f（x）會具有什麼樣的性質呢？
問題2：如果一個函式f（x）既關於點（a，b）中心對稱，又關於點（c，d）中心對稱，函式f（x）會具有什麼樣的性質呢？
問題3：一個函式f（x）關於直線x=a對稱，同時又關於點（c，d）中心對稱，那麼函式f（x）會具有什麼樣的性質呢？
問題4：一個函式f（x）有周期T，又有周期S，那麼函式f（x）會具有什麼樣的性質呢？
對於上述問題的答案，我們先給出結果：
結論1：f（x）具有周期T，且T=2|a-b|。
結論2：若b=d，則f（x）具有周期T，且T=2|a-c|。若b不同於d，則f（x）沒有周期。
結論3：若b=d，則f（x）具有周期T，且T=4|a-c|。
結論4：函式f（x）具有周期R，若S和T均為整數，則R=（S，T），即S和T的最大公約數。
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結論的證明和變式
結論1證明：因f（2b-x）=f（x）=f（2a-x），故週期為2|a-b|。
結論2證明：因f（x）+f（2a-x）=2b，f（x）+f（2c-x）=2d，
若b=d，則 f（2a-x）= f（2c-x），結論成立。
若b不同於d，則f（2a-x）-f（2c-x）=2b-2d，
令2a-x=t，2a-2c=p，2b-2d=q，則 f（t）-f（t-p）=q，
即週期性不存在。
結論3證明：因f（x）=f（2a-x），f（x）+f（2c-x）=2d，
則 f（2a-x）+f（2c-x）=2d，令2a-x=t，2a-2c=p，
則 f（t）+f（t-p）=2d，故f（t-p）+f（t-2p）=2d，即f（t）=f（t-2p），
故週期為4|a-c|。
結論4證明：由輾轉相除法即得。
從上面的證明過程來看，我們會得到另外兩個結論（證明略）：
結論5：若週期為2|a-b| 的函式f（x）關於直線x=a對稱，那麼函式f（x）關於直線x=b對稱。
結論6：若週期為2|a-c| 的函式f（x）關於點（a，b）中心對稱，那麼函式f（x）關於點（c，b）中心對稱。
一般的，我們通常會考慮對稱中心在x軸上的情況。這樣一來，就和函式的奇偶性問題聯絡上了。例如：奇函式 f（x）關於直線x=a對稱，則具有周期4|a|。
此外，具有周期的奇函式還有一個很重要的性質：
若定義在R上的奇函式 f（x） 週期為2T，則f（T）=0。
證明：因 f（T）=f（-T）=-f（T），故f（T）=0。
即奇函式在半週期的位置函式值為0，這與f（0）=0一樣，都是奇函式非常重要的性質。
我心依舊51252022-01-24 22:39:021、自變數和為常數，說明自變數關於x=1對稱。
函式值和為零說明函式值相反，那麼函式影象關於點（1，0）對稱。
2、自變數和為常數，說明自變數關於x=1對稱。
函式值相同，說明影象關於x=1對稱。
3、自變數差為常數2，說明週期為2，但是還不確定是週期還是反週期。
函式值相反說明，2為反週期。
4、自變數差為常量2，說明週期為2，但是還不確定是週期還是反週期。
函式值相同說明，2為週期。