新常新科技2020-10-26 18:58:33
解答思路
方法一：辯證法告訴我們，
具體問題得具體分析，在矛盾普遍性原理的指導下，即根據原函式的複合函式表示式，求出原函式的表示式，找出並分析矛盾的特殊性，即該複合函式的衍生自變數(也叫中間變數)在對應法則F下的解析式與原函式在同一對應法則F下的解析式存在相似結構，才能順利解決矛盾(問題)。
由於原函式y=F（ⅹ）在對應法則F下的衍生自變數（ⅹ+1/x）與因變數y=x^2+1/x^2存在相似結構（都是一個變數與其倒數之和），而任意非零變數與其倒數之積又是常數1，且根據完全平方公式可知：（ⅹ+1/x）^2=x^2+1/x^2 +2，所以已知解析式可化為：F（ⅹ+1/x）=（ⅹ+1/x）^2 -2，用通用自變數x代替（ⅹ+1/x）後可知：F（ⅹ）=ⅹ^2 -2。
而對於該自變數ⅹ的衍生自變數（ⅹ+1/x），從結構上可知：其基礎自變數x∈（-∞，0）U（0，+∞） （與前一個ⅹ不同），所以，要求出（ⅹ+1/x）的取值範圍，需分如下兩種情形討論：
1、當x<0時，ⅹ+1/x=-［（-ⅹ）+1/（-x）］，而由［√（-ⅹ） -1/√（-x）］^2≥0恆成立可知，（-ⅹ）+1/（-x）≥2 ，當且僅當√-ⅹ=1/√-x，即ⅹ=-1時取“=”（類似均值不等式的推導方法），所以（-ⅹ）+1/（-x）≥2 恆成立，由此可得（ⅹ+1/x）∈（-∞，-2］；
2、當x>0時，由均值不等式可知，ⅹ+1/x≥2恆成立，當且僅當ⅹ=1/x，即ⅹ=1時取“=”，由此可得（ⅹ+1/x）∈［2，+∞）；
由於上述兩種情形不需要同時滿足，即（ⅹ+1/x）∈（-∞，-2］與（ⅹ+1/x）∈［2，+∞）不需要同時滿足（否則（ⅹ+1/x）就不存在取值範圍，即其基礎自變數ⅹ也不會有取值範圍，這就與其基礎自變數x∈（-∞，0）U（0，+∞）矛盾），所以，原自變數ⅹ的衍生自變數（ⅹ+1/x）的取值範圍為（-∞，-2］U［2，+∞），而不是（-∞，-2］∩［2，+∞）
綜上討論，原函式F（ⅹ）=ⅹ^2 -2，其定義域為（-∞，-2］U［2，+∞）。
方法二：辯證法告訴我們，
具體問題得具體分析，在矛盾普遍性原理的指導下，即根據原函式的複合函式表示式，求出原函式的表示式，找出並分析矛盾的特殊性，即複合函式在對應法則F下的衍生自變數與原函式的在同一法則下的自變數存在元數一致性，可用變數替換法求解，才能順利解決矛盾(問題)。
對於原函式y=F（u）與另一函式u=ⅹ+1/x的複合函式y=F（ⅹ+1/x），在已經知道y=F（ⅹ+1/x）的解析式的前提下，若要求出原函式y=F（x）的解析式，僅需解決自變數ⅹ的衍生表示式在該複合函式表示式中的表達形式問題，一般把原自變數的衍生自變數用變數替換法進行變量回歸，復原成原自變數後，就可順利求解。比如：若原題變成：已知F（1+1/x）=x^2 +1/x^2，求F（ⅹ），這時用變數替換法求解，比用方法一的構造變數法的效率高得多。可見，方法一隻適用於衍生自變數結構較簡單的情形。
因此，根據已知條件，令u=ⅹ+1/x，由於u^2=x^2 +1/x^2 +2，所以不需要解出含引數u的根，已知表示式可直接寫成：F（u）=u^2-2，由於u=ⅹ+1/x，所以應像方法一那樣進行分別討論，最終得出u∈（-∞，-2］U［2，+∞），又由於在數學科學裡，一元函式的自變數通常用x表示，所以，原函式F（ⅹ）=ⅹ^2 -2，x∈（-∞，-2］U［2，+∞）。
（個人閒暇時的原創作品，歡迎發出不同的聲音，讓我們能夠越來越全面、準確地理解整個宇宙、外宇宙乃至更廣大自然界的廣義世界的數學本質，終會直指辯證法的數學核心，從而更好地駕馭它們，為人世間的真善美奠定堅實的數學科學、自然科學和哲學科學基礎！）