鄉村教師的幸福生活2020-02-16 15:43:59數學系小本科生，沒學過高數，一直學的是數學分析，簡單說一下我認為數分的作用和要學的原因吧。可能見解對於數學系同仁而言比較幼稚。。。。
首先，告訴人怎麼嚴格思考問題，比如連續函式是大家都瞭解的概念，但是怎麼樣具體的定義一個連續函式其實大部分人可能說不清楚，人們的直觀是說，連續函式就是連續不斷的函式。但是這只是直觀而已，不構成一個嚴格的定義，自然的會導致混亂~只有嚴格的用ε-δ語言定義了連續之後，才能對連續這個看上去最簡單的概念有一個清楚的把握。當然，對於一般的拓撲空間到拓撲空間的對映，連續還有更加推廣的定義方法。
第二，培養人抽象思考的能力。比如數學中，雖然有很多看上去直觀的概念（比如連續函式，比如數列極限），但是也有頗多不那麼直觀的概念，比如一致連續。一致連續是一個不那麼好想象的概念，因為哪怕一些非常簡單的函式，比如y=x^2，它在R上都不是一致連續的。雖然學到後來會發現“一致”這個概念無處不在，不過對於初學者而言，想清楚的理解它可能並不太容易。所以透過數學分析的學習可以培養人抽象思考的能力。學到後面的課會發現概念越來越抽象，比如抽象代數，交換代數中的群論，環論，域論，模論甚至範疇論。（當然這只是用代數舉例子，幾何和分析中一樣有諸多抽象的概念）這就說明了抽象思考的能力的重要性。
第三，學會一些數學中基本的思想或者說技巧。比如逼近的技巧，在數學分析中我們經常用多項式去逼近整個函式（Taylor展開），而逼近出現在數學的各個方面。實分析中常常用階梯函式或者簡單函式逼近可測函式，機率論裡面用離散隨機變數逼近連續的隨機變數，偏微分方程裡面用光滑函式逼近Sobolev空間裡面的函式，分析的其他分支，比如調和分析等中無不處處有逼近的思想。用“好”的函式逼近“壞”的函式，用已經解決的問題來解決未曾解決的問題，我感覺是數學工作者們始終在做的事情。
最後，培養人嚴謹思考的能力。這一條和第一條看上去差不多，不過第一條強調的是理解別人的定義，這一條強調的是自己做題，做數學的時候要有嚴謹的態度。從數學分析的開始——極限的ε-N定義，到微積分的建立，每一步都不是靠腦補出來的，而是的確嚴謹的經過推導和證明得到的。所以在學習的過程中，我們也一樣要培養嚴謹的思考習慣，簡單說就是自己每下一個結論的時候，都要做一步步嚴格的證明，而不是想當然。數學分析一開始有很多所謂“這TM也要證”的定理，就是那些看上去甚是顯然的東西，可是實際上真正一步步做起來對於初學者往往並不容易。而剛學的時候，對於這些定理證明感到不習慣，也就是因為自己還不是特別習慣嚴格的思考每一個問題。
