s1985516s2021-03-18 16:56:21有了實數集的基礎就可以進入正題——極限。
先說明幾個符號的意義
“∀”——代表“任何”、“任意”。
“∃”——代表“存在”。
為了“線性”書寫形式的方便，將採用中括號“［］”表示某些“非線性”書寫形式（即利用此將其改變成“線性形式”），如
lim［n→∞］ X（n）
∑［i=1，n］ X（i）
∫［a，b］ f（x）dx
一）數列及其極限的定義
數列是函式的一種特殊形式，即其自變數只取自然數，一般表示為{X（n）}，其中n∈N。由於自然數n只可能取無窮大為其極限點，所以數列也只有n趨向於無窮時的極限。
設{X（n）}是一個數列，A是一個實常數。如果對於任意給定的ε>0，存在正整數N，對於任何n>N，成立|X（n） - A|<ε，則稱數列{X（n）}收斂於A（或稱A是數列{X（n）}的極限）。記為
lim［n→∞］ X（n） = A
上面的文字描述可以採用下述符號表述法：
lim［n→∞］ X（n） = A ↔ ∀ε>0，∃N，∀n>N（|X（n）-A|<ε）
數列的這個極限定義形式通常被稱為（ε-N）分析描述語言。此類分析描述語言是由柯西和魏爾斯特拉斯發明的。
二）魏爾斯特拉斯定理
單調有界數列必有極限。
證明：
不妨設數列{X（n）}單調增加且有上界。根據確界存在定理，由{X（n）}構成的數集必有上確界A。任意給定ε>0，A-ε必然不是數集{X（n）}的上界，即存在N使得A>X（N）>（A-ε）。由於數列{X（n）}是單調增加的，所以對於任何n>N，成立A>X（n）>（A-ε），即|X（n）-A|<ε。同理可證數列{X（n）}單調減小且有下界的情況。證畢。
三）柯西-康托爾原理（閉區間套定理）
如果{［a（n），b（n）］}構成一個閉區間套，即［a（n），b（n）］⊇［a（n+1），b（n+1）］，且lim［n→∞］ （b（n）-a（n）） = 0。則存在唯一實數c屬於所有的閉區間［a（n），b（n）］，且c是數列{a（n）}和{b（n）}的極限。
證明：
由題設，顯然數列{a（n）}和{b（n）}是單調有界數列，則其必有極限分別設為A和B。由於lim［n→∞］ （b（n）-a（n）） = B - A = 0，即A = B（設其為c），則
lim［n→∞］ a（n） = lim［n→∞］ b（n） = c
由於a（n）≤c≤b（n），可見c屬於所有閉區間［a（n），b（n）］。證畢。
四）波爾察諾-魏爾斯特拉斯定理
有界數列必有收斂子列。
證明：
設數列{X（n）}有界，於是存在a1和b1成立a1≤X（n）≤b1。等分閉區間［a1，b1］得兩個閉區間［a1，（a1+b1）/2］和［（a1+b1）/2，b1］，其中至少有一個含數列{X（n）}中無窮多項，記為［a2，b2］。按此過程繼續可得一個閉區間套{［an，bn］}，顯然（bn-an） = （b1-a1）/2^（n-1），即lim［n→∞］ （bn-an） = 0。由閉區間套定理可知存在實數c屬於所有閉區間［an，bn］，且lim［n→∞］ an = lim［n→∞］ bn = c。
現在構造數列{X（n）}的一個子列。任取數列{X（n）}中的一項X（n1），顯然此項必在閉區間［a1，b1］內。由於閉區間［a2，b2］內含有無窮多個數列{X（n）}的項，在其內選一個X（n2）且n2>n1。按此過程繼續可得數列{X（n）}的一個子列{X（nk）}，其通項X（nk）必在閉區間［ak，bk］內，則有關係
ak≤X（nk）≤bk
由極限的夾逼性可得
lim［n→∞］ = c
證畢。
五）柯西收斂原理
先定義基本數列：
如果數列{X（n）}具有如下特性
∀ε>0，∃N，∀n>N∧∀m>N（|X（n）-X（m）|<ε）
則稱此數列為基本數列。
數列{X（n）}收斂的充分必要條件是它是個基本數列。
證明：
先證必要性。如果數列{X（n）}收斂於A，按收斂定義有
∀ε>0，∃N，∀n>N∧∀m>N（|X（n）-A|<ε/2∧|X（m）-A|<ε/2）
則有
|X（n）-X（m）|≤|X（n）-A|+|X（m）-A|<ε
即數列{X（n）}是個基本數列。
再證充分性。如果數列{X（n）}是個基本數列，對於選定的固定值ε，存在N，當m和n都大於N時成立
|X（n）-X（m）|<ε
現再固定m，顯見X（n）有界，即數列{X（n）}是個有界數列。由波爾察諾-魏爾斯特拉斯定理可知有界數列{X（n）}必有收斂子列{X（nk）}，設其收斂於A，即lim［k→∞］ X（nk） = A。
因為{X（n）}是基本數列，故∀ε>0，∃N1，∀n>N1∧∀nk>N1（|X（n） - X（nk）|<ε/2）。又由於lim［k→∞］ X（nk） = A，則∃N2，∀nk>N2（|X（nk）-A|<ε/2）。取N=max（N1，N2），當∀n>N∧∀nk>N時有
|X（n）-A|≤|X（n）-X（nk）|+|X（nk）-A|<ε
即數列{X（n）}收斂（lim［n→∞］ X（n） = A）。證畢。
六）實數系基本定理的等價性
前面分別給出了五個實數系基本定理以及它們的證明。從其證明的過程可以發現有下列推導關係
實數連續公理→確界存在定理→魏爾斯特拉斯定理→柯西-康托爾原理（閉區間套定理）→波爾察諾-魏爾斯特拉斯定理→柯西收斂原理
此外，還存在如下的推導關係
柯西收斂原理→柯西-康托爾原理（閉區間套定理）→確界存在定理
由此可見，實數系的五個基本定理是完全等價的。
七）數列極限的性質和四則運算
下面簡單羅列一下數列極限的一些性質和運演算法則：
1）數列極限的唯一性
2）收斂數列的有界性
3）收斂數列的保序性
4）數列極限的夾逼性
5）數列極限的運演算法則
a）lim［n→∞］ （a X（n） + b Y（n）） = a lim［n→∞］ X（n） + b lim［n→∞］ Y（n）
b）lim［n→∞］ （X（n） Y（n）） = lim［n→∞］ X（n） lim［n→∞］ Y（n）
c） 如果lim［n→∞］ Y（n） ≠ 0，則lim［n→∞］ （X（n）/Y（n）） = lim［n→∞］ X（n） / lim［n→∞］ Y（n）