使用者9680284365776562021-05-26 19:14:14（1）引理的證明：我們來構造這個子列設有實數列，定義集合集合中的每個元素，都比其後的所有元素都大。如果X中有無限個元素，在其中取下標遞增的一個數列，那麼這個數列是的子列，並且單調遞減，構造完畢。如果X中元素個數有限，那麼如果設N為其中最大的下標，對任意的an，它之後至少會有一個元素大於它。於是取k0 = N + 1， 為第一個大於的元素的下標，為第一個大於的元素的下標，依此類推，就可以得到的一個子列，它是單調遞增的，構造完畢。綜上可得，有界的實數列必然包含單調的子列。（2）定理的證明：先考慮n = 1的情況。對於一個有界閉集中的實數列，取它的一個單調子列。不妨設這個子列單調遞增，由於數列有上界，這個子列必然收斂。又因為集合是閉集，收斂的極限必然在集合中，於是我們找到了收斂的子列，因此集合是序列緊緻的。對於，證明的思路是取多次子列。設為一個有界序列，則n個實數列都是有界數列。於是存在的子列使得收斂。但是仍是有界數列，因而存在子列使得也收斂（注意這裡必然是收斂的）。在進行類似的n次操作後，我們就可以得到一個子列，使得都收斂，也就是說存在子列收斂。由於集合是閉集，收斂的極限必然在集合中，因此集合是序列緊緻的，證畢。萊垍頭條