快意折霜2017-11-05 18:19:53• 故事得從西元1202年說起，話說有一位義大利青年，名叫斐波那契。在他的一部著作中提出了一個有趣的問題：假設一對剛出生的小兔一個月後就能長成大兔，再過一個月就能生下一對小兔，並且此後每個月都生一對小兔，一年內沒有發生死亡，問：一對剛出生的兔子，一年內繁殖成多少對兔子？
雖說問題很有趣，但是貌似不是很容易解答，那我們還是先看看斐波那契是何許人也。
人物介紹
斐波那契，又稱比薩的列奧納多（英語：Leonardo Pisano Bigollo，或稱Leonardo of Pisa， Leonardo Pisano， Leonardo Bonacci， Leonardo Fibonacci，1175年－1250年），出生於義大利的比薩，義大利數學家，西方第一個研究斐波那契數，並將現代書寫數和乘數的位值表示法系統引入歐洲。
列奧納多的父親Guilielmo（威廉），外號Bonacci（意即「好、自然」或「簡單」）。因此列奧納多就得到了外號斐波那契（Fibonacci，意即filius Bonacci，Bonacci之子）。威廉是商人，在北非一帶工作（今阿爾及利亞Bejaia），當時仍是小夥子的列奧納多已經開始協助父親工作。於是他就學會了阿拉伯數字。
……………………。。。算盤書中的一頁關於斐波那契數列的拉丁文描述……………………。。。
成就
Liber Abaci（計算之書，1202年）。
Practica Geometriae （1220年），幾何學和三角學概論。
Flos （1225年），Johannes of Palermo提出的問題的答案。
Liber quadratorum，關於丟番圖方程的問題on Diophantine problems， that is， problems involving Diophantine equations。
Di minor guisa關於商業運算。
《幾何原本》第十卷的註釋。
斐波那契小時候就對算術很有興趣。後來，他父親帶他旅行到埃及、敘利亞、希臘（拜占庭）、西西里和普羅旺斯，他又接觸到東方國家的數學。斐波那契確信印度—阿拉伯計算方法在實用上的優越性。1202年，在回到家裡不久，他發表了著名的《算盤書》。
後來，斐波那契的才能受到弗里德里希二世的重視，因而被邀請到宮廷參加數學競賽。他還曾向官吏和市民講授計算方法。他的最重要的成果在不定分析和數論方面，除了《算盤書》外，儲存下來的還有《實用幾何》等四部著作。
斐波那契數列對後世的影響
斐波那契協會和《斐波那契季刊》
1202年，斐波那契在《算盤書》中從兔子問題得到斐波那契數列1，1，2，3，5，8，13，…，之後，並沒有進一步探討此序列，並且在19世紀初以前，也沒有人認真研究過它。沒想到過了幾百年之後，十九世紀末和二十世紀，這一問題派生出廣泛的應用，從而突然活躍起來，成為熱門的研究課題。以致1963年成立了斐波那契協會，還出版了《斐波那契季刊》。
我們就好奇了，僅僅是一個數列，就可以讓這麼多數學家趨之若鶩，甚至建立一個專門來研究它的協會，出版一份季刊？那麼，我們就來看一看這組數列有什麼神效，能夠使眾人淪陷。
1。 問題的由來
我們現在回到兔子問題
假設一對初生兔子要一個月才到成熟期，而一對成熟兔子每月會生一對兔子，那麼，由一對初生兔子開始，12 個月後會有多少對兔子呢？
解答：
…………………………………………。。。圖-1…………………………………………
我們按照規則，畫出了1-7月份兔子的繁殖情況。我們發現1-7月份兔子的數量分別為1， 1， 2， 3， 5， 8， 13對。為了更清晰一點，我們作出下面的示意圖。
…………………………………………。。。圖-2……………………………………
顯然在圖中，我們的黑點表示的是成熟兔子，白點表示的是小兔子。我們夠仔細的話能夠發現，右邊這一列數字是有規律的。第一個數和第二個數為1，之後的每一個數為之前兩個數之和。比如，六月份的兔子數量為四月份和五月份兔子數量之和，即8=5+3。
（此外，我們再仔細看一下，六月份的兔子中有五對黑（成熟）兔子和三對白兔子， 8=5+3。同樣是8=5+3，但是該等式和上式中的5與3表示了不同的意義，那麼他們之間有木有本質的聯絡呢。實際上5對黑兔子不就是上個月的5對兔子變來的嘛，只不過其中的白兔子都變為了黑兔子，即5=5； 三隻白兔子從哪來的，它們是四月份的三對兔子生的，不管黑白，到了五月份都是黑兔子，六月份的時候也就只有它們能生小兔子，而且必須生一對小兔子，所以3=3。）
現在我們就不用再畫兔子了，根據得到的規律，我們就可以預測12月份兔子的數量。將結果用列表的形式給出
…………………………………………。。。表-1……………………………………。。。。
因此，兔子問題得以解決，答案為144對。以上數列，即“斐波那契數列”。
2。 斐波那契數列的自身特性
斐波那契數列：1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， 233……
第一項和第二項是1，之後的每一項為之前兩項的和。即：
a1=a2=1
an=an-1+an-2 （n為正整數） ………………………………………………………………………………。。 （1）
對每一項做平方： 1^2， 1^2， 2^2， 3^2， 5^2， 8^2， 13^2，， … …
前幾項平方求和求和： 1^2+1^2=2
1^2+1^2+2^2=6
1^2+1^2+2^2+3^2=15
1^2+1^2+2^2+3^2+5^2=40
1^2+1^2+2^2+3^2+5^2+8^2=104
1^2+1^2+2^2+3^2+5^2+8^2+13^2=273 …………………………………………………………。。。。。（2）
現在我們再觀察一下等是右邊，我們發現2可以寫成1*2， 6可以寫成2*3，，15可以寫成3*5，40=5*8， 104=8*13，273=13*21，……。
……………………………………………………………………………………………………（3）
從我們得到的（3）式中可以看到，該等式中所有的數字均為斐波那契數，神奇吧。而且這不是一個巧合，這個性質不限於（2）式中的幾個，事實上，我們可以寫出前n項的平方和，依舊有這樣的性質。為什麼斐波那契數的前N項平方和可以寫成兩個斐波那契數之積呢？既然這個性質不是巧合，那麼其中必定有著更深層的數學本質。解決這個問題，我們從從上述的等式中貌似很難得到結論。我們轉換一下思路，平方有何幾何意義，顯然平方指的是一個正方形的面積，那好，我們依照這個思路，作一個幾何圖形試試。
………………………………………………。圖-3…………………………………………。
這下就很容易明白了，比如（2）式中的第一個等式1^2+1^2=1*2。左邊表示兩個正方形的面積，右邊表示一個長方形的面積，很顯然它們表示的是同一區塊的面積。再比如（2）式中的最後一個等式，左邊表示上圖中六個正方形的面積之和，右邊表示圖中的大長方形的面積，左右兩邊也是同一個區塊。現在似乎明白了等式為什麼成立了，但是等式右邊的這些數字為什麼是斐波那契數呢？這就是因為，斐波那契數為前兩項之和，我們就可以構造上面的幾何圖形，而且這樣構造的圖形中的長方形（粗黑線為邊界）的邊長只能為斐波那契數。
再來看另一個性質
……………………………………………………………………………………………………。（4）
（4）式中左邊為相鄰兩個斐波那契數的平方和，我們發現計算的結果全為斐波那契數，也就是說對於這樣的等式我們只用它自身的數字就足夠了。但是，該式我們並沒有寫出更多的項，如果繼續往下寫還能否成立能？可以換個角度來思考，如果上式有更深刻的數學本質，那麼也可以得到證明。
斐波那契數列與楊輝三角的關係
從圖上我們可以看到將楊輝三角中的斜向的一列數求和，得到一組新的數，而這一組新的數正好是斐波那契數列。至於其中是否有更深層的本質聯絡，筆者還未研究，這是一個值得討論的問題。
斐波那契數列的整除性與素數生成性
每3個數有且只有一個被2整除，
每4個數有且只有一個被3整除，
每5個數有且只有一個被5整除，
每6個數有且只有一個被8整除，
每7個數有且只有一個被13整除，
每8個數有且只有一個被21整除，
每9個數有且只有一個被34整除，
……。
我們看到第5、7、11、13、17、23位分別是素數：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）
斐波那契數列的素數無限多嗎？
斐波那契數列的個位數：一個60步的迴圈
11235， 83145， 94370， 77415， 61785， 38190，
99875，27965，16730，33695，49325，72910…
3。 斐波那契數列與黃金分割比
斐波那契數列的增長形式
…………。。。。。圖-4。（a）斐波那契數列的前10項， （b） 斐波那契數列的前20項…………。。。
我們從圖-4可以看出斐波那契數列的前10項和前20項有著相似的增長形式，在初期增長緩慢，之後增長速度越來越快。看到這個曲線，我們很容易想到另一條曲線，那就是人工培養基中細菌的早期繁殖曲線。我們知道。對於細菌培養的早期，培養基的空間對於細菌來說是是無限大的，培養基中的營養物質對細菌而言也是無限豐富的，這個時期細菌會以近似指數形式的增長形式繁殖。我們，再對比一下圖-4和圖-5，兩者的曲線變化非常像，那麼斐波那契數列是否是指數形式的增長呢？斐波那契數列僅僅是一組數，它為什麼就和細菌繁殖有這種近似關係呢？
圖-5 培養基中細菌的繁殖數量隨時間的變化關係（早期的指數增長階段）。
1/1=1，， 1/2=0。5，
2/3=0。66667，， 3/5=0。6，
5/8=0。625，， 8/13=0。61538，
13/21=0。61905，， 21/34=0。61765，
34/55=0。61818，， 55/89=0。61798，
89/144=0。61806，， 144/233=0。61803，
233/377=0。61804，， 377/610=0。61803，
610/987=0。61803，， 987/1597=0。61803
……………………………………。。。。。圖-6 Fn/Fn+1……………………………………。
我們計算了斐波那契數列的Fn/Fn+1的前幾項的結果，從第九項與第十項的比值開始，之後的數值都在0。618左右。似乎斐波那契數列是近似指數增長形式，為了更確切的說明這個問題，我們有必要來看一下斐波那契數列的通項。
第一次得到斐波那契數列通項的是數學家比內（Binet）［3］，其結果為：
……………………………………………………………………………………………………。 （5）
一個正整數序列的通項，竟然可以用帶有無理數的式子表達，這是十分意外的結果。
有了通項之後，我們就很容易計算Fn/Fn+1的結果。
……………………………………………………………………………………………………。 （6）
結果依然是0。618，所以斐波那契數列除了前幾項，之後的都是近似指數形式增長的。0。618，這正是黃金分割比，一個美學數字竟然出現在了斐波那契數列中。
下來我們再討論下這一組數和細菌增值又有什麼關係。既然影象是如此的相似，那麼他們的應該有更多的本質上的聯絡。我們再次回到斐波那契數列出處，額，那就是兔子問題。這不就結了嗎？一個是兔子繁殖，一個是細菌增值，他們都是生物。沒錯，這樣說很有道理，但是，兔子問題有很多假定，一是兔子不死，二是兔子必須一個月成熟，三是兔子一月必須生一對，仔細一想地球上還真沒有這樣的兔子，甚至沒有這樣的生物。但是，兔子問題的結論能夠很好地解釋細菌的早期繁殖，這樣我們就可以猜想細菌的生長、繁殖應該和“不死神兔”是類似的。
4。 自然界中的斐波那契數列
………………圖-7 左圖為斐波那契螺旋線（扇形），右圖為鸚鵡螺……………………。
…………………………。。圖-8 人的手指各部分骨骼長度…………………………。。。。。
斐波那契數列中的任一個數，都叫斐波那契數。斐波那契數是大自然的一個基本模式，它出現在許多場合。在生物學［4-6］中以及大自然中廣泛存在，下面舉幾個例子
1） 花瓣數中的斐波那契數
大多數植物的花，其花瓣數都恰是斐波那契數。例如，蘭花、茉利花、百合花有3個花瓣，毛茛屬的植物有5個花瓣，翠雀屬植物有8個花瓣，萬壽菊屬植物有13個花瓣，紫菀屬植物有21個花瓣，雛菊屬植物有34、55或89個花瓣。
………………………………。。。。。圖-9 植物的花瓣數量………………………………。。。。。
2）廣泛存在的斐波那契螺旋線
………………………………圖-10 植物中的斐波那契螺旋線…………………………。。。。。
…………………………圖-11 颱風中的的斐波那契螺旋線……………………。。。。。
…………………………。。圖-12 星系中的斐波那契螺旋線…………………………。。
3）樹杈的數目
……………………………………。。圖-13……………………………………
在日常生活中，我們也會發現樹木從樹幹到枝葉越來越細、越來越多，如果夠仔細的話，我們數一數不同階段的樹杈樹木，我們也會發現這其中也有斐波那契數。由於新生的枝條，往往需要一段成長時間，而後才能萌發新枝。所以，一株樹苗在一段間隔，例如一年，以後長出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發；此後，老枝與“休息”過一年的枝同時萌發，當年生的新枝則次年“休息”。這樣，一株樹木各個年份的枝椏數，便構成斐波那契數列。這個規律，就是生物學上著名的“魯德維格定律”。
4）向日葵花盤內葵花子排列的螺線數和黃金分割角
……………………………………。。。。圖-14……………………………………。。。
向日葵花盤內，種子是按對數螺線排列的，有順時針轉和逆時針轉的兩組對數螺線。兩組螺線的條數往往成相繼的兩個斐波那契數［7］，一般是34和55，大向日葵是89和144，還曾發現過一個更大的向日葵有144和233條螺線，它們都是相繼的兩個斐波那契數。研究證明［8］，為了使花盤中的葵花籽數量達到最多，大自然為向日葵選擇了最佳的黃金數字。花盤中央的螺旋角度恰好是137。5度，十分精確，只有0。1度的變化。
總結
斐波那契數列的神奇之處，在其它方面還有很多的例子和應用。比如，在股市分析，生物進化研究，力學結構穩定性分析等廣泛的領域都有重要應用，對它的研究以使其為我們更好的未來服務有著重要意義
。
（參考文獻：https：//zhuanlan。zhihu。com/p/26752744）
cj談情2020-02-13 09:04:16太深奧了，不懂。