使用者8924193093153252020-02-19 09:59:06討論前提是一個整環。
1 不可約元均為素元也就意味著是一個唯一分解整環（當然要滿足因子鏈條件）。而後者意味著要求這個整環是主理想整環。一個唯一分解整環不一定是主理想整環，而主理想整環一定是唯一分解的。因此這個題答案是否定的。比如Z［x］，整係數多項式環，是唯一分解的（顯然），但不是主理想整環。1+x與x^2是互素的（沒有公因式），但怎麼加都不會出來1的。
2 Z（根號-5）不是唯一分解整環。先證其中的單位只有正負1。記D=根號-5，則有a+bD為單位必有其範數為1。於是a^2+5b^2=1，有a=正負1，b=0。所以所有不可約元就是隻有他本身與1兩個約數（負的不算）。不妨設x是可約的，則有x=（a+bD）（c+dD）兩邊取範數知N（x）=（a^+5b^2）（c^2+5d^2）如果令x是不可約的，必有a^2+5d^2=1，c^2+5d^2=N（x）（負的先不考慮）是唯一的可能情形。考慮所以c^2+5d^2可能的值，列出就是1 4 5 6 9 14。。。所有範數不能表示為這個列中兩數之積的就是不可約元。比如2，3 1+D， 1-D，2+D等，恐怕沒法寫出通式來。舉例算一個吧2+D設2+D=（a+bD）（c+dD）左右取範數有9=（a^2+5b^2）（c^2+5d^2）反設可約，則必有a^2+5b^2=c^2+5d^2=3，這是不可能的。