以上回答說“不可能”的,都忽略了一個細節:鐘錶的時針與分針是聯動的,即,我們手動調時間時,無論前進還是後退,都是一小時對應時針30度分針360度。但是,注意,秒針是獨立運轉的!雖然正常執行時,秒針的角速度與分針有對應關係,但是它們的初始偏轉角是沒關聯的,可以調到任意的角度。換而言之,12:00:00:00時,時針分針重疊在正北方向,但秒針可以是任意角度,機械式的鐘表的秒針就是這樣的,只能用來計量速度,不能用來計量數字,利用這個BUG,是可以達到目的的!
答:這個是不存在的呢!
我們來簡單分析一下就知道。
我們把時鐘走過的角度,轉化為方便處理的方程,首先我們注意到:
1、分針的角速度,是時針的12倍;
2、秒針的角速度,是分針的60倍;
3、秒針的角速度,是時針的720倍;
然後我們就可以進行分析了!
一、我們先來考慮第一種情況
就是順時針方向,分別是時針—分針—秒針的情況,它們兩兩間隔120°,假設時針走過x度(1≤x<360)。
那麼時針和分針的,時針和秒針可分別建立方程:
x+120+360n=12x……(1)
x+240+360k=720x……(2)
其中n為已過的整數小時(0≤n<12);k為已過的整數分鐘(0≤k<720),並滿足
n=60k
;
這是一個三元一次限制性方程,很容易判斷x在[1,360)之間無解,所以第一種情況當中,是找不到我們所需狀態的。
二、其他情況
同樣的方法,當順時針方向,分別是三顆指標的其他組合順序時,也會得到無解(這裡省略具體過程)。
之所以都無解,是因為時針和分針呈120°的組合是有限的,從12點整開始,每過一分鐘,就有兩次時針和分針夾角為120°的情況,12小時就有1440次。
每種情況下,都唯一確定了秒針的位置,秒針沒有任何可調節的餘地,三者滿足的關係在這1440次內都無解,所以不可能出現時針、分針和秒針,互呈120°的情況,對非整數秒也是成立的,除非表壞了!
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答案是
沒有
,三根針
永遠不會互成120°
。當然了,這個鍾必須是三根針每時每刻都在動,因為有些鐘錶是秒針繞一圈結束,分鐘才會動一格。
下面列出具體的數學證明:
我們以鐘表盤面建立
極座標
,
12點方向為正,順時針角度為正。
(上圖)
為了方便,我們
設三根指標長度都為1
秒針為OA,座標為(1,α)
分鐘為OB,座標為(1,β)
時針為OC,座標為(1,γ)
每個
指標的角速度
我們容易知道,因此
每時每刻動了多少角度
,我們就可以列出式子(
下圖
)
而我們知道,當長度為1的三根指標互成120°時,等同於三個指尖的互相距離為根號3(下圖)
為了證明結論是不可能。
因此我們需要證明存在一種情況:
即當某兩根針尖相距根號3的所有可能條件下,其中一根針尖不能和剩下的一根距離等於根號3(見下圖)
計算發現:
即當分鐘和時針成120°時,秒針永遠不可能和分鐘也成120°
所以不存在三針互成120°的情況。
ps:除了證明不能成120°外,有了這些等式,我們還可以求任意情況下指標的關聯位置,或者一些其他情況。
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